Il lavoro presentato è una ricerca nel campo della geometria delle varietà iperboliche bidimensionali (dotate di una metrica a curvatura negativa costante). Introduciamo un nuovo metodo (un modo) per descrivere il comportamento globale delle geodetiche su varietà iperboliche di dimensione due. Usiamo questa costruzione (metodo dei multilaterali di colore), per studiare il comportamento tipico delle geodetiche su superfici iperboliche arbitrarie di firma. Vengono discusse le applicazioni e la direzione futura. A questo scopo, con l'aiuto dell'approccio pratico proposto inizialmente: 1) otteniamo una classificazione completa di tutte le possibili geodetiche sulle 2-varietà iperboliche più semplici (corno iperbolico; cilindro iperbolico; corno parabolico (cuspide)); 2) descrivere il comportamento delle geodetiche nei seguenti casi: a) su una superficie iperbolica di genere due (doppio incollaggio di due paia di pantaloni); b) si studia il comportamento tipico della geodetica su una superficie iperbolica chiusa e compatta senza bordo (caso generale); c) su una superficie iperbolica di genere g e con n componenti al bordo; d) su un toro iperbolico 1-forato; e) su un pantalone iperbolico generalizzato; f) su una sfera iperbolica tre volte forata; in generale: g.